Corrigé, et ce que le changement de base ne change pas

Le carré du nombre qui s’écrit onze s’écrit un-deux-un. C’est vrai en base dix, en base trois, en base sept, en base seize : le calcul est partout le même, parce que le nombre qui s’écrit onze est toujours la base plus un. En base deux, pourtant, ce même carré s’écrit un-zéro-zéro-un. Rien n’a changé dans le calcul ; une retenue est apparue, et c’est tout. Les quatre questions de l’exercice tournent autour de ce seul point. Une écriture est un calcul figé, et le changement de base ne touche qu’aux retenues.

Cet article est le cinquième de la série Écrire un nombre, tirée de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Il corrige « Exercice : représentations en base a », paru le 14 octobre, et s’appuie à chaque question sur l’unicité de l’écriture, démontrée dans « Dix doigts, et un théorème », paru le 8 octobre.

1. Le carré de onze

On développe : $(b+1)^{2}=1\times b^{2}+2\times b+1$ . Si $b\geq 3$ , les trois coefficients $1$ , $2$ et $1$ sont des chiffres de la base $b$ , c’est-à-dire des entiers compris entre $0$ et $b-1$ . Par unicité de l’écriture, ce sont donc ses chiffres, et $(b+1)^{2}=\overline{121}^{\,b}$ .

Si $b=2$ , le coefficient $2$ n’est pas un chiffre de la base deux, et l’argument tombe. On écrit alors $2\times 2=1\times 2^{2}$ , et

$\displaystyle 3^{2}=2^{2}+2\times 2+1=2\times 2^{2}+1=2^{3}+1=\overline{1001}^{\,2}.$

Le cas $b=2$ ne se distingue pas par le calcul, qui est le même, mais par une retenue : un coefficient a atteint la base et a dû être reporté sur le rang supérieur, deux fois de suite.

2. Les chiffres retournés

Notons $\gamma=a-2$ . Comme $a\geq 3$ , on a $1\leq\gamma\leq a-1$ : c’est un chiffre non nul de la base $a$ . Alors

$\displaystyle N=2(a-1)=1\times a+\gamma=\overline{1\gamma}^{\,a}\qquad\text{et}\qquad N^{\prime}=(a-1)^{2}=\gamma\times a+1=\overline{\gamma 1}^{\,a}.$

La seconde égalité mérite un regard. Le développement direct $(a-1)^{2}=a^{2}-2a+1$ ne donne pas une écriture en base $a$ : il contient un coefficient négatif. Il faut réécrire $a^{2}-2a=(a-2)a$ , c’est-à-dire emprunter au rang supérieur, exactement comme dans une soustraction posée. En base dix, on retrouve $18$ et $81$ ; en base sept, $\overline{15}^{\,7}$ et $\overline{51}^{\,7}$ , comme dans l’accroche de l’exercice.

Deux cas limites éclairent l’hypothèse. Pour $a=3$ , on a $\gamma=1$ et $N=N^{\prime}=4=\overline{11}^{\,3}$ : les deux écritures coïncident, et l’énoncé reste vrai sans rien dire. Pour $a=2$ , on aurait $\gamma=0$ , et l’écriture $\overline{\gamma 1}$ commencerait par un zéro, ce qui est interdit : $N=2=\overline{10}^{\,2}$ a deux chiffres, et $N^{\prime}=1$ n’en a qu’un. La propriété tombe.

3. Un produit dans une base inconnue

(a) Par définition, $y=x^{2}+3x+1$ et $z=x^{2}+1$ . Le produit se développe comme un produit de polynômes :

$\displaystyle xyz=x(x^{2}+3x+1)(x^{2}+1)=x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+x.$

Les coefficients sont $1$ , $3$ , $2$ , $3$ , $1$ et $0$ . Pour lire là une écriture en base $x$ , il faut qu’ils soient tous inférieurs à $x$ . L’énoncé le garantit sans qu’on calcule rien : l’écriture $\overline{131}^{\,x}$ contient le chiffre $3$ , donc $x\geq 4$ . Par unicité, $xyz=\overline{132310}^{\,x}$ .

(b) On a $x+y+z=2x^{2}+4x+2=2(x+1)^{2}$ . L’égalité $2(x+1)^{2}=50$ donne $(x+1)^{2}=25$ , donc $x=4$ , la valeur $-6$ étant exclue. Alors $y=29$ , $z=17$ , et $xyz=4\times 29\times 17=1972$ . On contrôle que l’écriture obtenue à l’aveugle était la bonne :

$\displaystyle \overline{132310}^{\,4}=1024+3\times 256+2\times 64+3\times 16+4=1972.$

4. Où le triangle de Pascal s’arrête

(a) On trouve $11^{5}=161051$ . La formule du binôme donne pourtant $11^{5}=(10+1)^{5}=1\times 10^{5}+5\times 10^{4}+10\times 10^{3}+10\times 10^{2}+5\times 10+1$ , et les coefficients $10$ ne sont pas des chiffres de la base dix. En partant des unités, $1$ reste $1$ , $5$ reste $5$ ; le premier $10$ s’écrit $0$ et retient $1$ ; le second devient $11$ , s’écrit $1$ et retient $1$ ; le $5$ devient $6$ . D’où $161051$ . Le triangle n’a pas disparu ; il est masqué par les retenues.

(b) Par la formule du binôme, $(b+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}b^{k}$ . Les coefficients binomiaux sont les chiffres de l’écriture en base $b$ si, et seulement si, ils sont tous inférieurs à $b$ — c’est l’unicité dans un sens, et le fait qu’un coefficient trop grand n’est pas un chiffre dans l’autre. Pour $n=4$ , le plus grand vaut $6$ : il faut et il suffit que $b\geq 7$ . Pour $n=5$ , le plus grand vaut $10$ : il faut $b\geq 11$ . Ainsi, en base seize, le nombre qui s’écrit $\overline{11}^{\,16}$ , c’est-à-dire dix-sept, a une puissance cinquième qui s’écrit avec les chiffres $1$ , $5$ , A, A, $5$ , $1$ , où la lettre A désigne le chiffre dix : $17^{5}=1419857=\overline{15AA51}^{\,16}$ .

5. Une écriture est un polynôme

Le point de vue qui suit n’est pas formulé dans l’ouvrage ; il réunit les quatre corrigés. Écrire $x=\overline{x_{n}\cdots x_{0}}^{\,b}$ , c’est dire que $x=P(b)$ pour le polynôme $P(X)=x_{n}X^{n}+\cdots+x_{1}X+x_{0}$ , dont les coefficients sont compris entre $0$ et $b-1$ . Additionner ou multiplier des écritures, c’est additionner ou multiplier des polynômes, puis évaluer en $b$ .

Tant que les coefficients du résultat restent entre $0$ et $b-1$ , l’unicité de l’écriture affirme qu’ils sont les chiffres cherchés : le calcul a la même forme dans toutes les bases assez grandes. C’est ce qui s’est passé pour $\overline{121}$ dès la base trois, pour $\overline{132310}$ dès la base quatre, pour la ligne $1,4,6,4,1$ dès la base sept. Dès qu’un coefficient sort de cet intervalle, par excès ou par défaut, il faut reporter ou emprunter, et l’écriture dépend alors de la base. La retenue de l’école primaire n’est rien d’autre que ce passage d’un polynôme à une écriture.

Le bilan tient en trois phrases. La valeur d’un nombre ne dépend jamais de la base. Son écriture en dépend toujours. Et la forme d’un calcul n’en dépend pas, tant qu’aucune retenue ne s’en mêle.

6. Ce qui est rond dépend de la base

Une conséquence plus terre à terre. Le Tome 2 démontre, pour une base $a$ quelconque, qu’un entier est divisible par $a^{m}$ si, et seulement si, son écriture en base $a$ se termine par $m$ zéros. Un nombre « rond » est donc rond relativement à une base. Le nombre $1024=2^{10}$ s’écrit $\overline{10000000000}^{\,2}$ ; le nombre $1000$ , si rond en base dix, s’écrit $\overline{1111101000}^{\,2}$ .

La parité elle-même ne se lit pas partout sur le dernier chiffre. En base trois, $3=\overline{10}^{\,3}$ se termine par un zéro et il est impair, tandis que $4=\overline{11}^{\,3}$ se termine par un $1$ et il est pair. En base trois, un nombre est pair exactement quand la somme de ses chiffres l’est : $\overline{11}^{\,3}$ a pour somme $2$ , $\overline{12}^{\,3}=5$ a pour somme $3$ . Ce n’est pas un hasard, et c’est le même mécanisme qui, en base dix, fait de la somme des chiffres un test de divisibilité par neuf. Le prochain article de la série, qui paraît le 18 octobre, le démontre, et montre qu’il n’y a au fond qu’un seul critère de divisibilité.

Les corrigés des questions 1, 2 et 3 suivent ceux de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2), et le critère de divisibilité par une puissance de la base figure à la fin de la section Critères de divisibilité du chapitre 2. L’explication du cas $b=2$ par une retenue, les cas limites de la question 2, la question 4, la lecture d’une écriture comme polynôme et la parité en base trois n’y figurent pas et sont ajoutés ici.

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Corrigé, et ce que le changement de base ne change pas

1. Le carré de onze

2. Les chiffres retournés

3. Un produit dans une base inconnue

4. Où le triangle de Pascal s’arrête

5. Une écriture est un polynôme

6. Ce qui est rond dépend de la base

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1. Le carré de onze

2. Les chiffres retournés

3. Un produit dans une base inconnue

4. Où le triangle de Pascal s’arrête

5. Une écriture est un polynôme

6. Ce qui est rond dépend de la base

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