Dans cette note, nous présentons et démontrons le théorème d'Euler qui est une généralisation du petit théorème de Fermat. Article au format PDF
Arithmétique
Une équation non conventionnelle dans N
Soit $latex x$ un entier naturel quelconque. On désigne par $latex p(x)$ le produit de ses chiffres en numération décimale. Nous résolvons l'équation $latex \displaystyle x^{2}-10x-22=p(x)$. Article au format PDF
Petit Théorème de Fermat
Dans le document épinglé ci-dessous, nous proposons deux démonstrations du petit théorème de Fermat. Article au format PDF Pour plus d'exercices d'arithmétique, consultez l'ouvrage suivant :
Suite finie de nombres premiers
Dans cette note, nous montrons qu'il existe un unique triplet de nombres premiers, termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 10. Soit $latex p$ un entier naturel. Alors, $latex \displaystyle p+1\equiv\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}1[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 0[\mathrm{mod}\, 3], \\[3pt] 2[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 1[\mathrm{mod}\, 3], \\[3pt] 0[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 2[\mathrm{mod}\, 3],\end{array}\right.$ puis $latex \displaystyle p+2\equiv\left\{\begin{array}{r@{\ … Lire la suite de Suite finie de nombres premiers
Majoration du produit et de la somme d’entiers naturels
Dans cette note, considérant trois nombres entiers naturels non nuls, nous prouvons que, si l’un est un majorant « strict » du produit des deux autres, alors il est aussi un majorant de leur somme. Soient $latex a$, $latex b$ et $latex c$ des entiers naturels non nuls. Alors, $latex 1\leq a$ et $latex 1\leq … Lire la suite de Majoration du produit et de la somme d’entiers naturels
Somme d’entiers relatifs et divisibilité par 3
Dans cette brève, nous démontrons que, parmi cinq entiers relatifs, on peut toujours en choisir trois dont la somme est divisible par trois. Étant donné un ensemble $latex E$ contenant cinq entiers relatifs, soit $latex f$ l’application de $latex E$ vers $latex \{0,1,2\}$ qui, à chaque élément de $latex E$, associe son reste pour la … Lire la suite de Somme d’entiers relatifs et divisibilité par 3
Écriture décimale et test de divisibilité par 7
Dans cette brève, nous présentons l'arrière-plan formel d’un test de divisibilité par $latex 7$. Selon un article abondamment relayé ces derniers jours, ce test aurait été mis au point récemment par Chika Ofily, jeune élève nigérian de 12 ans, vivant au Royaume-Uni. Soit $latex N$ un entier naturel. Alors, il existe un unique couple $latex (D,u)$ d'entiers naturels tels … Lire la suite de Écriture décimale et test de divisibilité par 7
Méthode générale de résolution des équations diophantiennes à trois inconnues
Dans cette note, nous présentons une méthode générale de résolution des équations diophantiennes à trois inconnues. Cette méthode s'inspire de la démarche notoire applicable aux équations diophantiennes à deux inconnues. Tout d'abord, nous rappelons qu'étant donné des entiers non nuls $latex a$ et $latex b$, ainsi qu'un entier quelconque $latex r$, l'équation $latex ax+by=r$ admet … Lire la suite de Méthode générale de résolution des équations diophantiennes à trois inconnues
Résolution d’une équation diophantienne à trois inconnues
Dans cette brève, nous nous proposons de résoudre dans $latex \mathbb{Z}^{3}$ l'équation diophantienne suivante: $latex \displaystyle 3x+13y+23z=0. \qquad (\mathbf{E})$ À cet effet, nous considérons le résultat suivant : Proposition 1. Pour tout couple $latex (a,b)$ d'entiers relatifs, la relation $latex 13a+23b\equiv 0\,[\mathrm{mod}\,3]$ est équivalente à $latex a\equiv b\,[\mathrm{mod}\,3]$. Preuve. Soit un couple $latex (a,b)\in\mathbb{Z}^{2}$. Alors, … Lire la suite de Résolution d’une équation diophantienne à trois inconnues
Nombres entiers naturels puissants consécutifs
Un entier naturel $latex n$ est appelé nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $latex p$ de $latex n$, le carré $latex p^{2}$ divise $latex n$. Par exemple, étant donné un nombre premier $latex p$ et un entier $latex m\geq 2$, l'entier $latex n=p^{m}$ est un nombre puissant. En effet, $latex p$ est l'unique diviseur … Lire la suite de Nombres entiers naturels puissants consécutifs
Formalis Mathematica 