« La suite se rapproche de plus en plus de sa limite. » La phrase est dans tous les manuels, elle paraît inoffensive, et elle est fausse dans les deux sens : une suite peut se rapprocher indéfiniment d'un nombre sans converger vers lui, et converger vers un nombre sans jamais s'en rapprocher régulièrement. Ce … Lire la suite de « Tend vers » : ce que disent ε et N
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Suites d’articles qui se lisent dans l’ordre.
Du plan à l’espace : ce que les axiomes doivent ajouter
« L'espace, c'est le plan avec une dimension de plus. » La formule est commode, et elle ne dit rien de ce qui change vraiment. Passer du plan à l'espace ne consiste pas à ajouter une lettre dans un repère : il faut ajouter des axiomes. Cinq exactement, dans le seul groupe d'incidence, et chacun … Lire la suite de Du plan à l’espace : ce que les axiomes doivent ajouter
Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
« Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant une propriété donnée. » Cette phrase ouvre presque tous les cours, du collège à la licence, et elle a le mérite de ne heurter personne. Elle a aussi un défaut : elle ne sert dans aucune démonstration. Aucune propriété ne s'en déduit, aucun théorème ne s'y appuie. … Lire la suite de Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
Une suite est une application, et cela change tout
« Soit la suite un = 1/(n + 1). » La phrase ouvre des milliers d’exercices, et elle est inexacte à au moins deux titres. D’abord, un n’est pas une suite : c’est un nombre réel, celui que la suite associe à l’entier n. Ensuite, l’égalité ne définit rien tant que l’on n’a pas dit … Lire la suite de Une suite est une application, et cela change tout
Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Une suite dont les termes finissent par se resserrer converge-t-elle ? Dans ℚ, non : la suite des troncatures décimales de √2 se resserre autant qu'on veut sans jamais atteindre de limite rationnelle. Dans ℝ, oui — et cette différence est à elle seule une définition possible des nombres réels. Ce blog a déjà construit … Lire la suite de Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Chiffrer avec une fonction affine : tout se joue sur l’inverse modulaire
Numérotons les lettres de l'alphabet de 0 pour A à 25 pour Z, et chiffrons un message en remplaçant chaque lettre de rang x par ax + b, calculé modulo 26. Le procédé s'appelle le chiffrement affine. Il est élémentaire, et il pose une question qui ne l'est pas : quels couples de coefficients produisent … Lire la suite de Chiffrer avec une fonction affine : tout se joue sur l’inverse modulaire
Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le crible d’Ératosthène : pourquoi peut-on s’arrêter à la racine carrée ?
Pour savoir si 211 est premier, personne ne teste 210 divisions. On s'arrête à 13, parce que 14² = 196 et 15² = 225 encadrent 211. La règle est enseignée partout ; sa justification, presque nulle part. Elle tient pourtant en trois lignes, et ces trois lignes disent quelque chose de plus général que le … Lire la suite de Le crible d’Ératosthène : pourquoi peut-on s’arrêter à la racine carrée ?
Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l'est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c'est le passage de l'une à l'autre — l'usage d'une règle de déduction qui n'existe pas, ou d'une règle qui existe mais dont … Lire la suite de Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Le théorème de Gauss : quand a-t-on le droit de simplifier une divisibilité ?
Voici l'un des raisonnements faux les plus tenaces de l'arithmétique scolaire : puisqu'un entier divise un produit, il divise l'un des deux facteurs. La phrase sonne juste. Elle est fausse, et le contre-exemple tient en une ligne. 6 divise 4 × 9, mais 6 ne divise ni 4 ni 9. Le produit vaut 36, que … Lire la suite de Le théorème de Gauss : quand a-t-on le droit de simplifier une divisibilité ?
