Dans le présent article, notre intérêt se porte sur une propriété manquante de la relation de divisibilité par trois. Nous en proposons une démonstration qui s'appuie sur le jargon et les propriétés de la théorie des applications, et qui fait usage d'un résultat de l'analyse combinatoire. Du reste, les règles de raisonnement par disjonction des … Lire la suite de Somme d’entiers relatifs et divisibilité par 3
Auteur : Christian Nguembou Tagne
Numération et division euclidienne
Lorsqu'un nombre entier naturel est écrit en base dix avec au moins deux chiffres, le nombre constitué des deux derniers chiffres de cette écriture est le reste de la division euclidienne dudit nombre par 100. Dans cet article, nous utilisons cette propriété, après l'avoir démontrée, pour déterminer le chiffre des unités et le chiffre des … Lire la suite de Numération et division euclidienne
Condition d’appartenance de certaines fractions à l’ensemble des entiers
La présente note est dédiée à l'étude d'un aspect des fonctions rationnelles dont le numérateur est un polynôme à coefficients entiers, du premier ou du second degré, et le dénominateur un polynôme unitaire du premier degré à coefficients entiers. Précisément, nous allons mettre sur pied une méthode pour déterminer les nombres entiers dont les images … Lire la suite de Condition d’appartenance de certaines fractions à l’ensemble des entiers
Deux définitions alternatives de la notion de groupe
Notoirement, un magma est un groupe s'il est associatif, unifère et si chacun de ses éléments possède un inverse. Dans cette note, nous présentons deux alternatives à cette définition de la notion de groupe. Tout d'abord, nous montrons que, pour qu’un magma soit un groupe, il suffit qu'il soit associatif, unifère à gauche et que chacun … Lire la suite de Deux définitions alternatives de la notion de groupe
Magmas unifères, actions déduites à gauche et idempotence
Dans cette note, nous présentons une condition suffisante pour que deux lois de composition internes sur un même ensemble, ayant chacune un élément neutre, soient idempotentes. Cette condition est la distributivité mutuelle des actions à gauches déduites de ces lois. Précisément, étant donné deux lois de sur un même ensemble, ayant chacune un élément neutre, … Lire la suite de Magmas unifères, actions déduites à gauche et idempotence
Les coupures de Dedekind
Dans cet article, nous allons à découverte d’une construction due au mathématicien allemand Richard Dedekind (1831 – 1916), permettant d'obtenir le corps totalement ordonné et complet des réels à partir de corps totalement ordonné, mais incomplet, des nombres rationnels. L'article est organisé en six sections. La première section est consacrée aux définitions. La deuxième section … Lire la suite de Les coupures de Dedekind
Les vecteurs propres de deux endomorphismes commutants
Dans cette contribution, nous établissons une condition suffisante pour qu'en dimension finie, deux endomorphismes commutants aient les mêmes vecteurs propres. Précisément, nous allons montrer que, si deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie commutent, et si le cardinal du spectre de chacun de ces endomorphismes est égal à la dimension de l'espace vectoriel, alors … Lire la suite de Les vecteurs propres de deux endomorphismes commutants
Le spectre de la composée de deux endomorphismes
Dans cette note, nous démontrons qu'en dimension finie, le spectre de la composée d'un second endomorphisme après un premier endomorphisme est égal au spectre de la composée du premier après le second. Dans notre argumentation, nous allons mettre à contribution trois résultats que nous nous donnons la peine de démontrer ici à titre pédagogique. Le … Lire la suite de Le spectre de la composée de deux endomorphismes
Le théorème de Cantor-Bernstein
Dans cet article, nous proposons une démonstration du théorème de Cantor-Bernstein. Ce dernier affirme que, s’il existe une application injective d’un ensemble E dans F, ainsi qu’une application injective de F dans E, alors il existe une application bijective de E sur F. La démonstration proposée ici a pour trame de fond un exercice que … Lire la suite de Le théorème de Cantor-Bernstein
Deux traits de la droite réelle
La droite réelle est l'ensemble des nombres réels équipé de sa métrique naturelle. Dans cette note, nous révélons deux traits de cet espace métrique. Précisément, nous allons démontrer que, pour que la somme de deux parties de la droite réelle soit un ouvert, il suffit que l'une de ces parties le soit. Au demeurant, nous … Lire la suite de Deux traits de la droite réelle
Formalis Mathematica 